Equações de 3° grau - Cálculo da raiz

Equação de terceiro grau é toda equação do tipo

$$a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 $$

Onde $$\begin{cases}\ a_3 , a_2 , a_1 , a_0 \in \mathbb{R} \\ a_3 \not=0 \end{cases}$$

O cálculo da raiz dá-se nas etapas:

I. Estabelecemos a condição:"x é igual a soma de dois números reais" $$x=m+y$$. Então:

$$a_3(m+y)^3 + a_2(m+y)^2+ a_1(m+y) + a_0 = 0 $$

$$a_3(m^3+3m^2y+3my^2+y^3) + a_2(m^2+2my+y^2) + a_1(m+y)+a_0=0$$

$$ a_3m^3+3a_3m^2y+3a_3my^2+a_3y^3+a_2m^2+2a_2my+a_2y^2+a_1m+a_1y+a_0=0$$
$$ a_3y^3+3a_3my^2+a_2y^2+3a_3m^2y+2a_2my^2+a_1y+a_3m^3+a_2m^2+a_1m+a_0=0$$

$$ a_3y^3 + (3a_3m+a_2)y^2+(3a_3m^2+2a_2m+a_1)y+a_3m^3+a_2m^2+a_1m+a_0=0$$
$$ y^3+(3m+ \dfrac{a_2}{a_3})y^2+ (3m^2+2 \dfrac{a_2}{a_3} m + \dfrac{a_1}{a_3} )y + m^3 + \dfrac{a_2}{a_3} m^2 + \dfrac{a_1}{a_3} m + \dfrac{a_0}{a_3} = 0 $$

II. O objetivo é encontrar o valor de $$m$$ tal que $$(3m+ \dfrac{a_2}{a_3})y^2$$ seja nulo. Logo, o valor de $$m$$ seria $$ - \dfrac{a_2}{3a_3} $$. Então, substituímos, o que ficaria:

$$y^3+ \left( 3 ( - \dfrac{a_2}{3a_3})^2 + 2 \dfrac{a_2}{a_3} ( - \dfrac{a_2}{3a_3}) + \dfrac{a_1}{a_3} \right) y + ( - \dfrac{a_2}{3a_3})^3 + \dfrac{a_2}{a_3} ( - \dfrac{a_2}{3a_3})^2 + \dfrac{a_1}{a_3} ( - \dfrac{a_2}{3a_3}) + \dfrac{a_0}{a_3} = 0$$
$$y^3+ \left( \dfrac{a_2^2}{3a_3^2} - \dfrac{2a_2^2}{3a_3^2} + \dfrac{a_1}{a_3} \right) y - \dfrac{a_2^3}{27a_3^3} + \dfrac{a_2^3}{9a_3^3} - \dfrac{a_1a_2}{3a_3^2} + \dfrac{a_0}{a_3} = 0 $$
$$ y^3 + \left( \dfrac{a_1}{a_3} - \dfrac{a_2^2}{3a_3^2} \right) y + \dfrac{- a_2^3 + 3a_2^3 - 9a_1a_2a_3}{27a_3^3} + \dfrac{a_0}{a_3} = 0 $$
$$ y^3 + \left( \dfrac{a_1}{a_3} - \dfrac{a_2^2}{3a_3^2} \right) y + \dfrac{2a_2^3 - 9a_1a_2a_3}{27a_3^3} + \dfrac{a_0}{a_3} $$.

III. Agora, fazemos $$ p = \left( \dfrac{a_1}{a_3} - \dfrac{a_2^2}{3a_3^2} \right) $$ e $$q= \dfrac{2a_2^3 - 9a_1a_2a_3}{27a_3^3} + \dfrac{a_0}{a_3} $$ . Onde ficaria:

$$y^3+py+q=0$$

Observe que todos os passos anteriores teve como o objetivo de retirar o termo de grau 2 do polinômio da equação de terceiro grau. Agora, a partir disso, usamos, mais uma vez, outra condição: "$$y$$ é igual a soma de dois números reais" $$y=u+v$$. Então:

$$ (u+v)^3+p(u+v)+q=0$$
$$u^3+v^3+3uv(u+v) + p(u+v)+q=0$$

Vamos sair um pouco do assunto, para entendermos tudo o que fizemos acima.
Podemos chamar um número real, digamos, 5, como a soma de dois outros j + k. Os valores de j e k são infinitos. Agora, se atribuirmos uma propriedade a j e k, podemos ter dois valores fixos, nos quais a soma de ambos resulte 5. Isto é, dizemos que o produto de j e k é 5,76. Então, os valores de J e K serão 3,2 e 1,8 (resolvendo por um sistema de equações).
É com isso que estamos fazendo a todo momento. Substituindo um número pela soma de dois outros, tais que o produto deles ajude-nos a resolvermos as contas.

IV. Então, voltando. O objetivo desta vez é fazer com que $$3uv(u+v) + p(u+v)$$ se anule. Para isso, o produto de $$uv$$ tem que ser igual a $$ - \dfrac{p}{3}$$. Observe que se substutuirmos $$uv = - \dfrac{p}{3}$$ em $$3uv(u+v) + p(u+v)$$, o mesmo se anularia.

Então, sendo a propriedade: $$uv = - \dfrac{p}{3}$$, então teríamos:

$$u^3+v^3+q=0$$

V. Como $$uv= - \dfrac{p}{3}$$, então isso implica que $$v= - \dfrac{p}{3u}$$. Sendo assim, substituindo:

$$u^3 + \left( - \dfrac{p}{3u} \right)^3 + q = 0$$
$$u^3 - \dfrac{p^3}{27u^3} + q = 0$$
$$u^6 + qu^3 - \dfrac{p^3}{27} =0$$

VI. Chamamos $$u^3=k$$, onde teríamos a equação de segundo grau:

$$k^2+qk - \dfrac{p^3}{27} = 0 $$
$$ k = - \dfrac{q}{2} + \sqrt{ \dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27} }$$

E, se $$u^3=k$$, então:
$$u^3= - \dfrac{q}{2} + \sqrt{ \dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27} }$$
$$u = \sqrt[3]{ - \dfrac{q}{2} + \sqrt{ \dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27} }}$$

Como $$v= - \dfrac{p}{3u}$$, a partir de algumas fatorações, achamos:
$$v = \sqrt[3]{ - \dfrac{q}{2} - \sqrt{ \dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27} }}$$

Como $$y=u+v$$, então temos que, para uma equação de terceiro grau do tipo $$y^3+py+q=0$$, temos:

$$ y = \sqrt[3]{ - \dfrac{q}{2} + \sqrt{ \dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27} }} + \sqrt[3]{ - \dfrac{q}{2} - \sqrt{ \dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27} }}$$

Como $$x = m + y$$, então temos que, para uma equação GERAL de terceiro grau do tipo $$ a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=0 $$, temos:

$$x = - \dfrac{a_2}{3a_3} + \sqrt[3]{ - \dfrac{q}{2} + \sqrt{ \dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27} } } + \sqrt[3]{ - \dfrac{q}{2} - \sqrt{ \dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27} } } $$
onde $$p= \dfrac{a_1}{a_3} - \dfrac{a_2^2}{3a_3^2} $$ e $$q= \dfrac{2a_2^3 - 9a_1a_2a_3}{27a_3^3} + \dfrac{a_0}{a_3} $$