Equações de 2° grau - Cálculo da raiz

Equação de segundo grau é toda  equação do tipo
$$ a_2x^2 + a_1x+a_0=0 $$ onde $$\begin{cases}\ a_2 , a_1 , a_0 \in \mathbb{R} \\ a_2 \not= 0 \end{cases} $$.

Sabe-se que a resolução de uma equação de segundo grau foi feita através de Bháskara e daí sua fórmula em homenagem: "Fórmula de Bháskara".

Para determinar a Fórmula de Bháskara, temos que seguir os seguintes passos:

Transformar $$ a_2x^2 + a_1 x + a_0 = 0 $$ (1) em um trinômio quadrado perfeito do tipo $$ (Ax+B)^2 = C $$ (2), transformando assim em um polinômio de primeiro grau, alcançando o objetivo.

Para isso, como sabemos que $$(Ax+B)^2 = A^2x^2+2ABx+B^2$$, então devemos multiplicar (1) por $$4a_2$$ para que a 1ª parcela seja um quadrado e de modo que a segunda seja divisível por 2. Logo teríamos:

$$ a_2x^2 + a_1x + a_0 = 0$$
$$ 4a_2^2x^2 + 4a_1a_2x + 4a_2a_0 = 0$$
E para melhor deixar 'com cara de quadrado perfeito':
$$ (2a_2x)^2 + 2 (2a_2x) (a_1) + 4a_2a_0$$

Observe que $$ 4a_2a_0 $$ não faz parte do trinômio quadrado perfeito, e que a 3ª parcela, que contém o fator $$ a_0 $$, não 'faz parte desse trinômio', que poderia ser completado se somássemos $$a_1^2$$ aos dois membros:

$$ (2a_2x)^2 + 2 (2a_2)(a_1) + (a_1)^2 + 4a_2a_0 = (a_1)^2$$
E observe que temos um trinômio quadrado perfeito que pode ser fatorado:
$$ (2a_2x + a_1)^2 + 4a_2a_0 = (a_1)^2$$
$$ (2a_2x + a_1)^2 = (a_1)^2 - 4a_2a_0$$
$$ 2a_2x + a_1 = \pm \sqrt{a_1^2 - 4a_2a_0} $$
$$ 2a_2x = -a_1 \pm \sqrt{a_1^2 - 4a_2a_0} $$
$$ x = \dfrac{ -a_2 \pm \sqrt{a_1^2 - 4a_2a_0}}{2a_2} $$

Chegando assim à famosa Fórmula de Bháskara.